Backrohr auf 80 Grad vorheizen. Paradeiser abtropfen lassen. Paradeiser und Oliven in kleine Stücke schneiden. Hühnerfilets salzen, pfeffern, im Öl bei milder Hitze beidseitig braten (je nach Dicke ca. 4 Minuten, Hautseite zuerst) - dabei immer wieder mit Bratfett übergießen. Fleisch aus der Pfanne heben und im Rohr warm stellen. Im Bratrückstand Paradeiser und Oliven anschwitzen, mit zerdrücktem Knoblauch würzen. Bratensaft zugießen und aufkochen. Stärke mit 1 TL kaltem Wasser anrühren, in die Sauce gießen und unter Rühren ca. 1/2 Minute köcheln. Basilikum einrühren. Hühnerfilets mit der Sauce und den Beilagen anrichten.